阿莱西奥·菲加利：友好的数学家

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阿莱西奥·菲加利（Alessio Figalli）1984年出生于罗马。父亲是工程学教授，母亲是一名高中古典学老师。菲加利的家里到处都是关于希腊历史和神话的书。菲加利喜欢踢足球、看动画片，和他的朋友一起出去玩，据他回忆，每天放学，他总是能做出理性选择，先完成作业， 这样就可以玩得尽兴。

“我需要在我能获得的好成绩和获得这样的好成绩所花费的时间之间取得平衡。我总是在优化，想付出最少的努力就达成结果。”菲加利从小就喜欢数学，因为数学对他来说很容易，他不用花费多少时间学习就可以学得很好，他真正热切地学习数学是后来的事情。在意大利，学 生可以就读古典高中或者科学高中。菲加利喜欢科学，但他的父母希望他进古典高中，他心甘情愿地接受了，因为觉得古典高中的女生数量一般会比科学高中多。

意大利数学家阿莱西奥·菲加利（Alessio Figalli）

菲加利在高三时开始深入学习数学，在此之前，他更关心的事情是踢足球。他父亲的数学家同事鼓励菲加利参加国际数学奥林匹克竞赛， 该竞赛吸引了世界上数学头脑最好的年轻人。菲加利很惊喜的发现，原来有些数学问题没有直截了当的解决方案，你必须自己去创造这些方案。 菲加利后来考进了比萨高等师范学校（Scuola Normale Superiore of Pisa），这所大学招收在数学和科学方面有天赋的学生。菲加利马上就发现之前的教育给自己带来的限制：当时18岁的他和意大利的顶尖学生一起上数学课，而他甚至不知道如何求导。

但是那些观察仔细的人都能看到，菲加利是一个很有潜力的学生。他的学习速度很快，一年内就赶上了他的同龄人。第二年开始时， 他开始研究他在比萨高等师范学校的导师路易吉·安布罗西奥（Luigi Ambrosio）撰写的一篇专业性非常强的论文。安布罗西奥觉得这篇论文自己的这位新学生读起来会觉得困难，但是菲加利一周内就完全理解了。 菲加利两年完成了他的本科学位。2004 年，安布罗西奥成了菲加利的 研究生导师，又安排他跟着生活在法国里昂的才华横溢的数学家塞德里克·维拉尼（Cédric Villani）学习——几年后，维拉尼获得了菲尔茨奖。

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菲加利2016年从得州大学奥斯汀分校来到苏黎世联邦理工学院任教。他在校园里有一间公寓，但是他很少会连续待两个星期以上。更多的时候，他住在英国，妻子米凯拉·雅克贝利（Mikaela Iacobelli）是杜伦大学的数学家。二人相识于2013年，当时菲加利在罗马大学做了一次演讲，雅克贝利其时正在罗马大学读博。据雅克贝利回忆，罗马大学的一位老师在介绍菲加利时念了很长一段成就，菲加利对此做出的反应让她印象深刻。“他看起来有点尴尬，因为他真的很谦虚。在日常生活中， 我总是忘记他的数学有多好。”雅克贝利说。

菲加利在世界各地都有很多合作者。他经常全世界到处飞——他声称自己不是太受时差影响——他也经常在苏黎世接待其他数学家。2018年5月，麻省理工学院的大卫·杰里森（David Jerison）访问了菲加利， 希望能够与他在 Brunn-Minkowski 不等式相关问题上取得进展。他们在黑板上推演着各种想法。有时他们进展快速，有时沉默良久，琢磨如何进行下一步。仅仅到了第二天，他们就取得了一些实际进展。“菲加利的速度令人难以置信，”杰里森后来说道，“在解决基本问题、找到能够给我们提供信息的要点上面都很快。”

当遇到任何新问题时，菲加利喜欢从这个问题的几何意义入手。例如， 他会画出一些晶体在加热下会有哪些极端的变形方式，因为他知道最终的稳定性证明必须考虑到这些情况。“我喜欢画画，通过画画，我能获得一种直觉，很容易地发现关键问题是哪些。”

成为一名成功的数学家需要很多不同的品质：专业技能，独创性， 能够在极大的不确定性下坚持不懈。这些品质菲加利都有，但是他身上最突出的是他的性格：他似乎不会被数学带来的压力压垮。“你看不到他表现出任何痛苦，”安布罗西奥说，“也许有一些，但并不明显。我觉得，他的朴素、友好的个性是他成功的一个重要因素。”

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假如书架上放着n本书，那么将这套书整体向右移动一个位置的最佳方法是，将第n本书向右移动一个位置，然后将第（n-1）本书向右移动一个位置…… 依此类推，最后将第1 本书向右移动一个位置。这个方法的“成本（cost）”是n步。还有另外一种最优解法的“成本”也 是n步，那就是直接将第1本书向右移动n个位置。这两种方法都是最优输运映射。

大约250年前，法国数学家蒙日（Gaspard Monge）在其作品中第一次对这类问题进行了严格分析，他分析了如何将建筑材料从来源地运输到建筑地点，能使成本最低。从抽象的几何学的角度来看这个问题， 蒙日得出的结论是，最优输运映射是使建筑材料行经路程最短的那个。

最优输运问题非常直观，然而它背后蕴藏的数学复杂性不容小觑。 其复杂性来源于将材料从一个位置移动到另一个位置，或者更复杂的情 况下，将多个物品从多个初始位置移动到多个目标位置的多种可能性。

例如，如果不局限于用一个个小推车来运输建筑材料，那么或许可以将一个小推车中的建筑材料分送到多个目标位置，比如说用铲子来分割。为了找到最优方法，运输材料可以被分割为无限小的分量，然后确定这一份运到这里，那一份运到那里。这样就会有无限多的自由度，只有用数学分析才能研究无限小或无限大尺度上的变化。

此后约150年间，蒙日的工作一直无人继续发展，部分原因是缺乏必要的数学工具。到了20世纪40年代，经济学家和数学家康托罗维奇 （Leonid Kantorovich）应用测度论和泛函分析这些现代数学工具，让这个主题重现生机。他扩宽了这个问题的设置，使之包含更复杂的情形， 例如几家面包店为几家不同的咖啡店供应物品。在这种情况下，最优输运映射将面包店与咖啡店匹配，使得运输烘焙食品的总成本最低。1975年，康托罗维奇因为他的工作获得了诺贝尔经济学奖。

法国数学家蒙日（Gaspard Monge）雕像

20世纪80年代，数学家在最优输运领域取得了一些重要的理论进展，爆炸式地引发了在城市规划、工程设计、流体力学、图像处理、形状识别和生物学等领域的新应用。这些进展也刺激了最优输运在数学领域内的应用，尤其是在黎曼几何和偏微分方程方面。菲加利及其合作者弗朗西斯科·马基（Francesco Maggi）与阿尔多·普拉特利（Aldo Pratelli）研究的等周问题（isoperimetric problem），就是它在偏微分方程方面的一个典型例子。

经典的等周问题可以阐述为：对于确定数量的围栏，什么形状所包围的土地面积最大？可以证明，最佳形状是一个圆，要用围栏包围一块固定的面积，圆形能使围栏的长度最小化。肥皂泡为等周问题提供了另 一个绝佳例子：在包围固定体积的空气的情况下，肥皂泡使得一种特定类型的能量——肥皂薄膜的表面张力最小化。

当物理学家说一个肥皂泡稳定时，意思是指如果轻微地碰一下肥皂泡，它只会轻微地晃动，一个轻微的碰触不会导致形状发生极大的改变。 而数学家则会用公式和不等式来描述当肥皂泡被轻微碰触时，到底会发生什么。他们会证明，数学表征具有一定程度的稳定性，与我们在自然界中观察到的相符合。

晶体和肥皂泡类似，它们也采用了能量最小化的形状，尽管这是一 种由晶体的原子结构决定的、截然不同的形状。虽然肥皂泡和晶体的特 性在一个世纪前就被理解了，然而，这些特性被极端理想化了，并且没有考虑其他可能的作用力。例如，如果从外部对一个晶体施加某种能量，比如说热能，那么这个晶体会如何形变？变化后的形状会与之前的形状 相似，还是截然不同？数学家想要精确地量化这种稳定性。

这个问题被菲加利及合作者当作一个最优输运问题解决了。当施加的能量大小为 E 时，理想的晶体形状被“输运”到一个新的形状。以晶体转变为新形状时必须移动的点阵的距离的平方作为损失函数，也就是这个过程的成本。菲加利等人得到了令人惊讶的简单结果：当系统确立解的稳定性时，平均来说，每个点移动的量与深层的理论结果相等，这意味着，如果增加的能量保持适度，那么形状的变化也将是如此。

与菲加利的工作有关的第二个例子是他与几个合作者共同完成的， 这个工作同样产生了深刻的理论成果，而且有些成功可以立即应用于推进对半地转方程的理解。20世纪90年代，气象学家首先提出了半地转方程，用它们来模拟大气和海洋中的大规模的动力学。气象学家借此表 达对大规模流动现象的物理学理解，并涉及了诸如速度、压强、地转风 等物理量。

虽然半地转方程似乎直观地提供了大气和海洋现象的正确描述，但要获得方程的可靠解却很困难。在这种情况下，方程可能不存在解，或者存在很多解，却无法分辨哪个解能表达实际的物理现象。计算机几乎帮不上什么忙，因为需要的近似可能最终提供的是不正确的解。我们需要的是对方程系统的稳健的理论理解，以及对于解的存在性与唯一性的严格结果。

这些正是菲加利及合作者创造的进展。他们考虑了另一个方程—— 蒙日-安培方程（Monge-Ampere equation），这个方程在数学中被广泛研究，特别是在微分几何中，并且出现在科学和工程领域的诸多问题中。

在半地转的情境下，蒙日-安培方程表达的是从一种密度到另一种密度的最优输运，其中，“成本”是行经距离的平方（动能的一种形式）。 这些密度可以是水滴，或者是云中的粒子，它们都以最优的方式四处移动。 对于一个确定的密度，蒙日-安培方程提供了最优输运映射。

过去五十年来，关于蒙日-安培方程的所有已知结果都未能提供一 个明确的方法，来将最优运输连接到半地转现象的情境中。这就是为什么菲加利与合作者 Guido De Philippis 一起完成的工作让人如此兴奋。 他们在理解蒙日-安培方程解的结构方面取得了突破，而这个方程恰好提供了使得最优输运理论能够应用于半地转方程所需的东西。

他们考虑气流从最初的形状和位置转变为接下来的形状和位置的最优输运映射，并证明，在初始形状中接近的点，在接下来的形状中仍然彼此接近。接着，他们证明，输运映射的这个特点蕴含着半地转方程解的正则性。他们的工作优雅地平衡了技术策略与创造性的洞察力。

（本文刊于《289艺术风尚》2019/1-2月刊）