十万亿个证据不如一个证明——猜猜黎曼猜想的命运

现在的零点计算已经超过了十万亿,但由于零点有无穷多个,再多的数值证据也是微不足道的。对于那些不相信黎曼猜想的人来说,一条打不倒的理由就是:所有支持都不是证明。

等待黎曼猜想的命运是被证明,还是被推翻?现在的零点计算已经超过了十万亿,但由于零点有无穷多个,再多的数值证据也是微不足道的。

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黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名论文除了含有许多“证明从略”的地方外,还有一个突出的特点,那就是它虽然反复涉及了黎曼ζ函数的非平凡零点,甚至还提出了与零点分布有关的一系列命题(包括大名鼎鼎的黎曼猜想),却没有举出哪怕一个具体的例子——即没有给出哪怕一个零点的数值。而且与那些“证明从略”的地方并非容易证明同样要命的是,黎曼不曾给出的那些零点的数值也并非是轻易就能计算得出的。事实上,直到黎曼那篇论文发表四十四年之后的1903年,才有人填补了这方面的空白:丹麦数学家格兰姆计算出了15个零点的数值。这是人们首次窥视到零点的具体存在。当然,那15个零点全都位于黎曼猜想所预言的临界线上。

1850年代初的黎曼

哈代

与我们在上篇中介绍的理论研究中的层层推进基本平行,数学家们计算零点的漫长征途,也有着层层推进的态势。但这推进的过程在起初的一段时间却显得极为缓慢,直到1925年,才计算出了区区138个零点,而且在那之后就陷入了停顿。计算为什么会陷入停顿呢?原因很简单,那就是当时计算零点的方法比较笨拙,致使计算量过于巨大。而那时的计算全靠手工,零点数目一多,计算量就大到了令人难以应付的程度。

既然是计算方法的笨拙使计算陷入了停顿,那么很显然,计算的重新启动需要有新的计算方法。这新的计算方法在七年后的1932年终于“出土”了——我没有写错,确实是“出土”,因为它是从早已去世了的黎曼的手稿中“挖”出来的!

黎曼那个时代的一些著名数学家有一个今天的数学家们很少效仿的特点,那就是常常不发表自己的研究成果。由于这个特点,那些数学家的手稿有着比普通名人用品所具有的单纯的猎奇价值大得多的价值,因为从中有可能发现一些他们未曾发表的研究成果。黎曼的手稿就是如此。

令人惋惜的是,黎曼的手稿在他去世之后有很大一部分被他的管家付之一炬了,只有一小部分被他妻子抢救了出来。在这部分劫后余生的手稿中,又有一部分被他妻子以涉及私人信息为由“克扣”掉了(其中包括许多几乎通篇都是数学,只夹带了极少量私人信息的手稿),剩下的才是后人真正可以查阅的。那些可供查阅的手稿被收录于哥廷根大学的图书馆。

不过,那部分手稿虽然可供查阅,但只要想想黎曼公开发表的文章都如此艰深,动辄花费后世数学家几十年的时间才能填补空白,就不难想象研读他的手稿会是什么感觉了。黎曼的研究领域极为宽广,手稿中常常诸般论题混杂,而且几乎没有半句说明。自黎曼的手稿被存放于哥廷根大学图书馆以来,陆续有一些数学家及数学史学家慕名前去研究。但在那极度的艰深晦涩面前,大都满怀希望而来,却两手空空而去。黎曼的手稿就像一本高明的密码本,牢牢守护着这位伟大数学家的思维奥秘。

但到了1932年,终于有一位数学家从黎曼的手稿中获得了重大发现——发现黎曼不仅亲自计算过若干个零点的数值

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