走向抽象化的数学

真正与“抽象代数”相对应的应该是“抽象艺术”，专指那些没有任何可以辨认的主题的绘画，俄国画家康定斯基被认为是第一个“抽象画家”。

集合论和公理化

19世纪几何学和代数学的变革，给20世纪的数学带来飞速的发展和空前的繁荣。现代数学不再只是几何、代数和分析这几门传统学科，而已成为分支众多、结构庞杂的知识体系，并仍在不断发展变化之中。数学的特点不仅只有严密的逻辑性，更添加了另外两条，即高度的抽象性和广泛的应用性，并因此形成了现代数学研究的两个大的范围，即纯粹数学和应用数学。其中后者的一部分发展出计算机，撇开它的重要性，单就为人类所提供的就业岗位来说，就超过了所有其他数学分支的总和。

纯粹数学最初主要是受两个因素的推动，即集合论的渗透和公理化方法的应用。集合论本来是由康托尔于19世纪后期创立的，曾遭到包括克罗内克等在内的许多大数学家的反对，后来因其在数学中的作用越来越明显才获得承认。集合最初是建立在数集或点集上，不久定义的范围得以扩大，可以是任何元素的集合，如函数的集合、几何图形的集合等等。这就使得集合论作为一种普遍的语言进入数学的不同领域，引起了数学中积分、函数、空间等基本概念的深刻变化，同时刺激了本文将要谈到的数理逻辑中直觉主义与形式主义的进一步发展。

康托尔本是圣彼得堡出生的丹麦人，其犹太父母年轻时在俄国经商，生意做到了汉堡、伦敦乃至纽约。他与凯利一样，可谓在外从商者子女成才的楷模，只不过康托尔的祖父母就到了圣彼得堡。11岁那年，康托尔随父母迁居德国，在那里度过了一生的绝大部分时光。他在荷兰的阿姆斯特丹上了中学，后来又到瑞士的苏黎世和德国的几所大学求学，逐渐喜欢上数学并决定以此为职业，尽管他在绘画方面所表现出的才能曾使全家为之骄傲。

在康托尔眼里，集合是一些对象的总体，不管它们是有限的还是无限的。当运用一一对应去研究集合时，他得出了惊人的结果：有理数是可数的，即能与自然数一一对应。与此同时，他证明了：全体实数是不可数的。

不仅如此，康托尔还给出了超越数存在性的非构造性证明。事实上，康托尔证明了代数数和有理数一样也是可数的，同时又证明了实数是不可数的。这样一来，由于代数数和超越数的全体构成了实数，超越数不仅存在而且数量比代数数要多得多。对超越数的研究后来成为20世纪数论研究的一道风景。可是，当康托尔认定无限是真实存在时，受到同行长期的反对和攻击，尤以柏林大学的犹太教授克罗内克（1823-1891）为甚，后者不仅是个杰出的数学家和成功的商人，在科学论战方面也是最有力的斗士，而康托尔却软弱无能，虽然真理在他那边，以至于他毕生都在一所三流大学做教授。

康托尔为集合论引进了基数的理论，称全体整数的基数为阿列夫零，称后面较大的基数为阿列夫一、阿列夫二，等等（阿列夫是希伯来字母，康托尔也是犹太人）。也就是说，他对无穷作了分类。他并证明，全体实数集合的基数大于阿列夫零。这就引出了所谓的康托尔连续统假设：在阿列夫零与全体实数的基数之间不存在任何别的基数。20世纪初，德国数学家希尔伯特在巴黎世界数学家大会上发表著名的《数学问题》演讲时，把这个假设或猜想列在留给20世纪的23个数学问题的最前列（超越数问题则列在第7位）。

当康托尔发现，“数学的肌体”害了重病，古希腊的芝诺传染给它的疾病还没有得到缓解，他便不由自由地想医治它。可是，他对无穷问题所作的普罗米修斯式的进攻却使自己精神崩溃，那年他才40岁。很久以后，他死在德国中部的一家精神病院。在希尔伯特发表演讲的第二年，罗素也谈了自己的看法：

芝诺关心过三