三维挂谷猜想或被证明

2025年2月24日，纽约大学科朗数学科学研究所助理教授王虹与不列颠哥伦比亚大学助理教授约书亚·扎尔 （Joshua Zahl）在预印本网站（arXiv）上，提交了一篇题为《凸集的并集的体积估计和三维挂谷集猜想》（Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions）的论文。在这篇127页的论文中，王虹和扎尔给出了三维挂谷集猜想的一个证明。

稍后，陶哲轩在自己的博客上对这篇论文做了解读，并将其评价为“几何测度论领域的惊人进展”。

挂谷问题与挂谷集猜想

挂谷集猜想，是一个距今已经超过一百年历史的数学猜想。

在1917年，日本数学家挂谷宗一提出了一个日后被称为“挂谷问题”的数学问题。这一问题有一个形象的生活化版本，被称为“武士如厕”问题：“一位武士在上厕所时遭到敌人袭击。一时之间矢石如雨，而他只有一根短棒用来防身。为了挡住射向他的箭矢，武士需要挥舞短棒旋转一周。但武士所处的厕所很小，所以应当使短棒扫过的面积尽可能小。那么，这根短棒扫过的面积最小可以小到多少？”

这一问题的严格数学描述则是这样的：“平面上是否存在一个面积最小的区域D，使得一个长度为1的单位线段可以在D内旋转360°？”这样的区域D，就被称为挂谷集（Kakeya set）。而所谓的挂谷问题，就是在问，所有平面上的挂谷集的面积最小可以是多少。

显然，这根线段按照不同的方式选择，所扫过的挂谷集的面积是不同的。例如，如果线段绕着某一个端点旋转一周，其扫过的区域为一个半径为1的圆盘，面积为π。而如果线段绕着中点旋转一周，其扫过的区域为一个半径为1/2的圆盘，面积为π/4。

挂谷宗一本人认为，面积最小的平面挂谷集为一个刚好可以容纳单位线段的三尖瓣线围成的区域。此时，这个平面挂谷集的面积为π/8。

在1920年，前苏联数学家阿布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）在研究黎曼积分的时候，给出了一个被称作贝西科维奇集的平面区域。这个贝西科维奇集，包含了指向所有方向的单位线段。同时，它也是一个勒贝格零测集。

在数学中，测度是一种将几何空间的度量（长度、面积、体积）广义化后产生的概念。