从菲尔兹奖到阿贝尔奖：法尔廷斯与莫德尔猜想的四十年

当地时间2026年3月19日，挪威科学与文学院宣布，将2026年阿贝尔奖授予德国数学家、马克斯·普朗克数学研究所教授格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings），以表彰他“在算术几何领域引入强有力的工具，并解决了莫德尔与朗关于丢番图方程的长期猜想”。

这也让法尔廷斯成为了历史上第七位同时获得菲尔兹奖和阿贝尔奖这两个数学界最高奖的数学家。

德国数学家格尔德·法尔廷斯。图片来源：阿贝尔奖官网。

莫德尔猜想

40年前的1986年，时年32岁的法尔廷斯因证明莫德尔猜想获得了菲尔兹奖。40年后的2026年，已经72岁的他又再次因为莫德尔猜想，以及后续对算术几何领域的突出贡献，获得了阿贝尔奖。

可以说，数学界两大最为重量级的奖项，分别在法尔廷斯数学生涯临近起点和末尾处，为他最为知名的数学工作，留下了两个浓墨重彩的印记。

在谈及这一点时，法尔廷斯告诉南方周末：早年的那次突破为他后续的研究工作带来了自由；此后他也一直都能找到自己感兴趣的数学问题，即使后来的工作在他自己看来，未必都像莫德尔猜想那样具有轰动性。

那么，这个让法尔廷斯荣获菲尔兹奖和阿贝尔奖的莫德尔猜想，到底是什么呢？

在数学上，方程是一个非常基本的概念。含有未知数的等式叫做方程，而求出方程中未知数的具体数值，或者证明方程不存在解的过程，就叫做“解方程”。数学家们求解各种方程的过程，贯穿了长达数千年的整个数学史。

所谓的丢番图方程，则是一类非常特殊的方程，这一类方程也被叫做“不定方程”，它指的是整数系数的多项式方程。而所谓的丢番图问题，指的是要求出丢番图方程的所有整数解，或者证明其不存在任何整数解。

例如，勾股定理“平面上的直角三角形的两条直角边的长度的平方和等于斜边长的平方”，用等式写出来为x²+y²=z²。这就是一个丢番图方程。而“勾三股四弦五”，即x=3，y=4，z=5，就是这个丢番图方程的一个解。

丢番图方程的名字来源于3世纪希腊数学家丢番图。在其所著的《算术》（Arithmetica）中，就有关于丢番图问题的内容。

在数学上，有很多知名的难题都与丢番图方程相关。例如，困扰数学界300余年的费马大定理，其数学表述就是：“丢番图方程xⁿ+yⁿ=zⁿ，在n>2时，不存在整数解。”

1901年，法国数学家庞加莱提出了这样一个问题：定义在有理数域上的椭圆曲线，其有理点群是否构成了一个有限生成的阿贝尔群？

庞加莱所说的椭圆曲线，对应一大类丢番图方程。这类丢番图方程的有理解，自然就是该方程对应的椭圆曲线的有理点。因此，解决了庞加莱的提问，实际上就相当于知道了一大类丢番图方程的有理解的内在结构。

1922年，英国数学家路易·莫德尔（Louis J. Mordell）解决了庞加莱提出的问题。随后，在1928年，法国数学家安德烈·韦伊（André Weil）又将这一结论推广到了更一般的情形。这一推广结果后来被称作莫德尔-韦伊定理（Mordell–Weil theo